new

A.      Pengertian Turunan Numerik

Turunan numerik adalah persamaan fungsi f(x) yang diberikan secara eksplisit, maka kita dapat menentukan fungsi turunannya, f '(x), f "(x), ..., f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x), lalu menggunakannya untuk menghitung nilai turunan fungsi di x = t. Tetapi jika fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi kita hanya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini kita tidak dapat menemukan nilai turunan fungsi secara analitik. Sebaliknya, pada kasus lain, meskipun f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit sehingga menentukan fungsi turunannya merupakan pekerjaan yang tidak mangkus.

B.     Persoalan Turunan Numerik

Persoalan turunan numerik ialah menentukan hampiran nilai turunan fungsi f yang diberikan dalam bentuk tabel.

Tiga pendekatan dalam menghitung turunan numerik:

1.      Hampiran selisih maju

2.      Hampiran selisih mundur

3.      Hampiran selisih pusat

C.     Rumus Turunan Numerik

1.      Dengan Bantuan Deret Taylor

a.       Hampiran Selisih Maju

Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:

b.      Hampiran Selisih Mundur

Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:

c.       Hampiran Selisih Pusat

Untuk nilai-nilai f di x-1 dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

2.      Dengan Bantuan Polinom Interpolasi

a.       Polinom Newton-Gregory :

Yang dalam hal ini, s = (x-x0)/h.

b.      Hampiran Selisih Maju

_-           Bila digunakan titik-titik x₀ dan x_{1 :}

-          Bila digunakan titik-titik x₀, x₁ dan x₂

-          Untuk x₀ s = (x0 - x0)/h = 0, sehingga :

c.       Hampiran Selisih Mundur

Bila digunaksn titik-titik x₀ dan x₁

d.      Hampiran Selisih Pusat

-          Bila digunakn titik-titik x₀, x₁, dan x₂

-          Untuk titik x₁ s = (x1 - x0)/h = h/h = 1, sehingga

-          Untuk titik x₁, x₀, dan x₁

D.     Ringkasan Rumus Turunan Numerik

1.      Rumus Turunan Pertama

2.      Rumus Turunan Kedua

3.      Rumus Turunan Ketiga

4.      Rumus Turunan Keempat

E.      Contoh Soal

1.      Diberikan Data dalam bentuk tbel sebagai berikut

                  Hitunglah f '(1.7) dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h²) dan O(h⁴)

Penyelesain :

- Orde O(h²) :

Ambil titik-titik x_-1 = 1.5 dan x₁ = 1.9, yang dalam hal ini x₀ = 1.7 terletak di tengah keduanya dengan h = 0.2.

- Orde O(h⁴) :

           

Ambil titik-titik x_-2 = 1.3 dan x_-1 = 1.5 , x₁ = 1.9, dan x₂ = 2.1, yang dalam hal ini x₀ =

1.7 terletak di pertengahannya.